I) Présentation générale du problème
On trouve dans de nombreuses machines des systèmes d'engrenages destinés à multiplier ou à démultiplier une vitesse d'entrée pour obtenir une vitesse de sortie bien particulière.
Les exemples sont nombreux, comme les boites de vitesse de nos voitures, ou encore les engrenages des montres et des horloges.
Nous disposons d'un arbre tournant à une vitesse angulaire W. A la sortie on veut une vitesse angulaire k.W où k=0,23 (par exemple).
Il faut donc essayer de trouver une méthode générale pour placer des engrenages (dont on définira le plus petit et le plus grand), qui ont par exemple entre 15 et 50 dents pour obtenir le rapport k.
II) Etude des engrenages
a) Etude du rapport de transmission dans un couple d'engrenages
On appelle couple d'engrenages un montage constitué d'un pignon moteur denté et d'une roue réceptrice, elle aussi dentée.
Notations pour une roue d'engrenage:
On appelle N sa vitesse angulaire.
On appelle D son diamètre.
On appelle Z son nombre de dents.
On appelle p le pas de la denture.
Aux notations sont associés des indices qui les lient aux roues auxquelles elles se rapportent.
Par exemple N 2 correspond à la vitesse angulaire de la roue 2, Z 25 le nombre de dents de la roue 25 etc....
Pour engrener les 2 roues d'un engrenage doivent avoir le même pas.
On a la relation qui lie la circonférence et le pas 
Donc p= p D/Z
Or p 1 =p 2
Donc 
et donc 
Au point M les extrémités des 2 dents ont la même vitesse linéaire (et non pas angulaire).
On a la relation 
(relation liant la vitesse avec la vitesse angulaire en fonction du rayon qui est la moitié du diamètre) ; donc 
On obtient la relation 
D'où on déduit que N 1. Z 1 =N 2 .Z 2
Par définition, le rapport d'un montage d'engrenage est égal au quotient de la vitesse angulaire de sortie par la vitesse angulaire d'entrée.
Ce rapport est aussi égal au rapport inverse du nombre de dents des roues.
Soit k ce rapport de réduction alors : 
Remarques:
- On voit bien ici le rapport inverse du nombre de dents par rapport aux vitesses de rotation (inversion des indices).
- Il est important de considérer un rapport de réduction sous forme fractionnaire comme une chose qui existe. Ainsi si 
il s'agit du rapport de réduction formé par une roue de 47 dents et une roue de 23 dents.
Donc 
Nous voici désormais en possession de la formule de base des engrenages .
b) Etude des rapports de transmissions avec plusieurs couples d'engrenages
d) Les arbres
Si on utilise un arbre pour relier 2 roues on garde la même vitesse angulaire pour un nombre de dents différents.
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Etude d'un montage de 4 roues avec 2 arbres
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On cherche W 4 en fonction de W 1 On a: On s'aperçoit que le rapport de réduction de ce montage correspond au rapport des roues qui se touchent directement .
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Montons plusieurs roues avec des arbres et étudions ce qui se passe.
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On a les relations On voit ici que le rapport de réduction de ce montage () est égal au produit des rapports des roues qui se touchent directement . |
Par récurrence on démontre que le rapport total d'un montage du type précédent est égal au produit des rapports des montages intermédiaires (roues qui se touchent directement).
On a maintenant la relation suivante pour un montage avec n roues:
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